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“代换”在相似三角形中的应用
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“代换”在相似三角形中的应用
2013-09-25 09:19
文/胡春雁 科技信息报今日文教周刊2013年9月23日B3版
在学习相似三角形时,同学们常会遇到证明乘积式或比例式。这类问题一般是通过三角形相似来解决。但有些题目,找不到相似三角形,需通过换线段或比例式来“架桥”,以达到目的,下面略举几例加以说明:
例1.已知:平行四边形ABCD,过A的一条直线分别交BD、CD、BC的延长线于M、N、P,求证:A㎡ =MN·MP
分析:先把乘积式改为比例式,无法找到相似三角形,利用题目中的平行四边形这一条件,可以得到几个相似三角形,把AM/MN和MP/AM联系起来了。其中“BM/DM”起到桥梁的作用。
略解:∵AB∥DN ∴△ABM∽△NDM
∴AM/MN=BM/DM ∵AD∥BP ∴△ADM∽△PBM
∴BM/DM =MP/AM ∴AM/MN=MP/AM 即A㎡ =MN·MP
例2.如图,△ABC中,AB=AC,E是中线AD上一点,过C作CG∥AB,BE的延长线交AC于E,交CG于G,求证:BE
2
=EF·EG
分析:要证结论成立,须证EF/BE=BE/EC要架桥用“EC”来换“BE”,进而构造相似三角形。
解:连接EC
∵AB=AC,E是中线AD上一点
∴BE=EC
∴∠ABC=∠ACB, ∠EBC=∠ECB
∴∠ABE=∠ACE
∵AB∥CG ∴∠ABE=∠G
∴∠ACE=∠G ∵∠FEC=∠CEG
∴△ECF∽△EGC
∴EF/EC=EC/EG∴ EF/BE=BE/EG 即BE
2
=EF·EG
下面两题供同学们练习:
已知:如图1,平行四边形ABCD,过A的一条直线分别交BD、CD、BC的延长线于M、N、P,MN=1,NP=2;求AM的长。
如图3.在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的各顶点在△ABC的边上,
求证:DE
2
=AD·BE
(作者单位:湖北省老河口市仙人渡中学)
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