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新课程下数学概念的教学策略

 

贵州省仁怀市第一中学   胡继龙 

 

 

   数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式，数学公式，定理和数学方法都反映了数学概念和对象间的关系，可见，数学的学习其实就是数学概念的学习，可以说，数学概念是学好数学的基础，另外，深入的理解数学概念，会使学生的抽象思维能力得到锻炼， 在新课程标准中，对概念的教学提出了更高的要求，要求学生会解释概念，会举例印证概念，会从实际问题中抽象出概念，因此教师在教学中要改变传统的概念教学方式，多研究数学概念的教学方法。中学数学里有各种各样的数学概念，由于概念的内容和它在数学中的地位不同，概念也就有简单和易学之分，有的概念在整个高中数学中起主导作用，有的概念不是关键性的，因此教学要分清主次，抓住重点，理清关系。下面探讨有关概念的教学策略。

一 在学习一个新的数学概念时，要注意概念的引入问题

  数学概念的产生方式是多种多样的，有的是为解决实际问题而引入的，有的是在原有的概念的基础上产生的，因此学生学习数学概念的途径也是多种多样的。但无论数学概念的产生过程如何，任何一个数学概念都有自身的具体内容，在高中数学课程中，很多的数学概念都有其现实模型，对于这样的一些现实模型，学生并不陌生，因此在概念的教学中，要注意概念产生的具体途径，产生的背景，注重概念的形成过程，使数学概念的学习显得自然而非强加于人。

  案例：向量概念的引入

  向量是高中数学的核心概念之一，向量概念是学好平面向量的基础，在教学中，要在概念的引入上注意概念产生的实际背景，呈现的例子要适当，要和学生已有的知识经验相联系。教学时，除了教材上的例子以外，可以多补充一些例子。例如，可以补充如下实例：

  实例1：在一座小岛上，如何确定一艘正在海上航行的轮船的位置？需要些什么条件？

  实例2：用5N的力沿水平方向可以拉动一个水平放置的物体，试问如果用沿水平方向成30°大小为5N的力是否能拉动物体？你能否标出物体受到的重力的方向?

  通过这两个实例，学生了解在现实中存在既有大小又有方向的量，在学生感性认识的基础上，可以进一步设置如下的问题：

  问题1：请举出一些具有大小又有方向的量？

  问题2：只有大小没有方向的量存在吗？只有方向而没有大小的量存在吗？请举例说明。

  通过这样的思考，学生对向量的概念就有了初步的认识，接着，再给出向量的概念也就水到渠成了。在概念的教学中，具体事例的数量不能太少，否则学生对概念的感知不充分，对掌握概念所必须的经验不能建立起来，就难以对概念对象的各种要素进行全面鉴别。上面的案例中恰到好处的呈现出教材上没有的事例，再配合教材上的例子，学生应该容易习得向量的概念。

  二、教学时注意概念的内涵和外延

  概念的内涵指的是概念所反映对象的本质特征；概念的外延指的是概念所反映的本质属性的对象，概念的内涵是质的方面，概念的外延是概念量的方面，它说明概念所反映的事物有哪些。概念的内涵和外延是对立统一的，内涵明确，则外延清晰；外延清晰则内涵明确。例如在新课程必修4的角的概念的推广的教学中，角的概念的内涵是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，外延就是角的分类：正角，负角和零角。在教学中，可以通过变式来明确概念的外延。

  教学案例：函数奇偶性的教学（人教A版）

  函数的奇偶性是必修1的内容，是函数单调性之后很重要的一个性质。在教材中，通过具体的函数得到了偶函数的概念，

由，得到了奇函数的概念。教材中通过例5让学生判断函数的奇偶性，笔者认为，通过这样的习题还没有真正明确函数奇偶性这个概念的外延。可以通过如下的实际例子来补充完成：

例：判断下列函数的奇偶性：

   （1）    （2）

   （3）        （4）

    其中（1）和（2）是让学生首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这是判断函数奇偶性的前提条件，但有的学生会直接套用或这说明学生没有真正理解函数奇偶性的定义，这时教师可以让学生通过作函数的图像来观察图像是否关于轴对称或关于原点对称，进而得出定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件，第（3）题是让学生明白常数函数也具有奇偶性，在教学中可以把 改为，再让学生判断，给出第（4）题的目的是让学生清楚分段函数也可能具有奇偶性。在这个案例中，通过可能出现的各种情况让学生明白了函数奇偶性这个概念的内涵。总之，概念的教学是一个复杂的过程，尽量从各个方面呈现概念的外延，外延清楚则内涵就明确了。

    三、在概念的教学中，注重培养学生的数学语言表达能力

    长期以来，学生认为多做题，就能学好数学，教师认为多讲一些考试题型，学生的成绩就会提高，在新课程理念中，学生的学习方式由原来的被动，接受式学习变为自主探究，合作交流，这对学生的交流能力提出了更高的要求，如何让学生正确的表达自己的思想，这是一个长期的过程，实践证明，学生在学习中，积极主动思考，善于发表不同的意见，其数学成绩也很好，因此，教师要多培养学生的语言表达能力。在数学概念的教学中，学生能否用自己的语言叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生是否掌握好数学概念的标志。所以语言表达是概念学习过程中一个重要的环节。例如在函数的单调性的教学中，为了训练学生的语言表达能力，要求学生用自己的语言描述函数单调性的概念，并根据你的叙述总结出判断函数单调性的操作步骤。

    又如，在函数奇偶性的教学设计中，笔者从开始的引入起就注意训练学生的语言表达能力。

    （1）：通过观察函数的图像，你能发现什么？你能否根据函数的解析式用自己的语言来描述图像关于轴对称的特征？

  学生通过图像或者通过完成教材中的函数值对应表，总结出：自变量互为相反数，相应的函数值相等这样的结论。教学中，教师千万不要包办代替，让学生说出来效果会更好。通过这样的铺垫，在学习奇函数的概念时，学生很容易得出：自变量互为相反数，函数值也互为相反数。有了（1）的基础，接下来是将学生总结的结论符号化。

（２）你能否用数学符号来表示你所发现的结论？

在概念的教学上，这是一个关键的过程，也是比较困难的一件事情，但还是要让学生自己完成从文字语言的叙述到用数学符号表示的过程，为了加强效果，可以让学生不要看教材，自己独立思考。

笔者在教学中得到了学生的几种不同的表达方式：

① ：如果对于函数Y=f(x)的定义域内任意一个，都有那么函数就叫做偶函数。如果对于函数Y=f(x)的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。

② ：如果对于函数Y=f(x)的定义域内任意一个，都有

那么函数就叫做偶函数。如果对于函数Y=f(x)的定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。

   应当注意的是②中，还有一种就是教材中的叙述方式。在这里学生的创造性得到了发挥，语言表达能力也得到了训练。

   总之，数学概念的教学方式是很多的，这里不再一一的阐述，概念是数学的灵魂，中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！因此在数学教学中，要强化基本概念和基本思想的教学，把一些核心的概念贯穿到高中数学教学的全过程中来，认真研究教学方法，提高概念的教学水平。

       （本文获“全国中小学素质教育创新与实践” 二等奖）