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汉诺塔问题的算法分析及C++实现

汉诺塔问题的算法分析及C++实现

江苏灌南县  孙小慧

   摘要:该文对经典的汉诺塔问题进行了详细的分析,给出了递归的和非递归的算法,并用c++语言对这两种算法进行了实现与比较。

    关键字 汉诺塔,递归算法,非递归算法

Algorithm Analysis and C++ Realization of Hanio Issue

Sun Xiaohui

      Abstract: This text carries on detailed analysis about classical Hanio issue ,then describe it with both Recursive algorithm and Non-recursive algorithm, provides realization of algorithm in C++.

KeywordsTower of hanoiRecursive algorithmNon-recursive algorithm

      一、 问题描述

问题提出:

设有三个塔柱(分别为A号,B号和C号)。初始时,有个圆盘按自下向上、从大到小的次序叠置在塔上。现要将塔上的所有圆盘,借助于B塔,全部移动到C塔上,且仍按照原来的次序叠置。移动的规则如下:这些圆形盘只能在个塔间进行移动,一次只能移动一个盘子,且任何时候都不允许将较大的盘子压在比它小的盘子的上面。要求如下:从键盘输入初始圆形盘子个数n,用语言实现个盘子最佳移动的全过程[1]

本题的目的是设计一个盘子移动的方案,使得号塔上的所有盘子借助于B塔按照原来的次序移动到C塔上,并且,要给出完整的盘子移动的方案。下面我们从递归和非递归两种方面进行考虑[2]

       二、 递归解法及其C++实现

我们先来考虑下递归求解这个问题的情况:

假设共有n个盘子,无论n是多少,也不管怎么去移动盘子(当然是按规则来移动),但在移动的过程中,将始终会出现这样的状态情况:(n1)个盘子将会以自下向上、从大到小的次序叠置在塔上,这时,A塔上第个盘子就能被轻而易举地叠放到塔上;接着,再把塔上的共(n1)个盘子移动到塔上,问题好像已经解决。但,塔上(n1)个盘子怎么移动到塔上呢芽这是要解决的第二个问题。同样,不管我们怎么移动,也将会出现这样的状态情况:(n2 个盘子将会以从上到下、从大到小的次序叠置在塔上,这时,塔上第(n1 个盘子就能被轻而易举放到塔上;接着,把塔上的共(n2)个盘子移动到塔上。这样,不断深入,不断细小化,最终,将到达仅有一个盘的情形,这时,递归也就终止了,问题也得到了解决。通过以上分析,这里有很明显的递归关系。

由此,可以给出汉诺塔问题的递归算法如下:

1. 当仅有1个盘子时,把这个盘子从A塔柱移动到C塔柱上

2. 当圆盘的个数多于1个时,如下解决:

(1) 先将A塔柱上的(n-1)个圆盘通过C塔柱移动到B塔柱上

(2) 再将A塔柱上的第n个圆盘直接移动到C塔柱上

(3) 最后B塔柱上的(n-1)个圆盘通过A塔柱移动到C塔柱上

该算法对应的代码如下:

void hanoi(int n,char a,char b,char c)

{

if(n==1){

cout<<a<<"->"<<c<<endl;

}

else {

hanoi(n-1,a,c,b);

cout<<a<<"->"<<c<<endl;

hanoi(n-1,b,a,c);

}

}

        三、 非递归解法及其C++实现

首先把三根柱子按顺序排成品字型,把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上。

根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序:若n为偶数,按顺时针方向依次摆放 A B C;

(1)若n为奇数,按顺时针方向依次摆放 A C B。

按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子,即当n为偶数时,若圆盘1在柱子A,则把它移动到B;若圆盘1在柱子B,则把它移动到C;若圆盘1在柱子C,则把它移动到A。

(2)接着,把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。

即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上,当两根柱子都非空时,移动较小的圆盘
这一步没有明确规定移动哪个圆盘,你可能以为会有多种可能性,其实不然,可实施的行动是唯一的。

(3)反复进行(1)(2)操作,最后就能按规定完成汉诺塔的移动[3]

C++代码如下:

const int MAX = 64; //圆盘的个数最多为64

struct st{  //用来表示每根柱子的信息

      int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况

      int top; //栈顶,用来最上面的圆盘

      char name; //柱子的名字,可以是A,B,C中的一个

     

      int Top(){//取栈顶元素

            return s[top];

      }

      int Pop(){//出栈

            return s[top--];

      }

      void Push(int x){//入栈

            s[++top] = x;

      }

} ;

long Pow(int x, int y); //计算x^y
void Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值
void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数

int main(void)
{

      int n;
      cin >> n; //输入圆盘的个数      
      st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储
      Creat(ta, n); //给结构数组设置初值

      long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1
      Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数

      system("pause");
      return 0;
}

void Creat(st ta[], int n)
{

      ta[0].name = 'A';

      ta[0].top = n-1;

      for (int i=0;i<n;i++)//把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上

            ta[0].s[i] = n - i;            
      ta[1].top = ta[2].top = 0;//柱子B,C上开始没有没有圆盘
      for (int i=0; i<n; i++)

            ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0;

           

      if (n%2 == 0) //若n为偶数,按顺时针方向依次摆放 A B C
      {
            ta[1].name = 'B';
            ta[2].name = 'C';
      }
      else  //若n为奇数,按顺时针方向依次摆放 A C B
      {
            ta[1].name = 'C';
            ta[2].name = 'B';
      }
}

long Pow(int x, int y)
{
      long sum = 1;
      for (int i=0; i<y; i++)
            sum *= x;

      return sum;
}

void Hannuota(st ta[], long max)
{
      int k = 0; //累计移动的次数
      int i = 0;
      int ch;
      while (k < max)
      {
            //按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子
            ch = ta[i%3].Pop();
            ta[(i+1)%3].Push(ch);
            cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;
            i++;
            //把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上
            if (k < max)
            {//把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上,当两根柱子都为空时,移动较小的圆盘
                  if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 || ta[(i-1)%3].Top() > 0 && ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top())
                  {
                        ch =  ta[(i-1)%3].Pop();
                        ta[(i+1)%3].Push(ch);
                        cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i-1)%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl;
                  }
                  else
                  {
                        ch =  ta[(i+1)%3].Pop();
                        ta[(i-1)%3].Push(ch);
                        cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i+1)%3].name << " to " << ta[(i-1)%3].name << endl;
                  }
            }
      }
}

       四、 比较与总结

汉诺塔问题是经典的递归算法例子。本文给出了递归和非递归两种解决汉诺塔问题的算法。递归的汉诺塔问题解法优点是逻辑清晰,易于理解,可读性好,算法语句少,也有助于理解递归的思想,但需要大量的栈空间,运行效率不高。如果用非递归方法解决汉诺塔问题的算法,优点是仅用少量的存储空间克服了递归算法的不足,兼顾了时间与空间的效率,缺点是理解起来可能比较困难,可读性也不是很好,在实际中,可根据需要选择一种进行解决。

 

   参考文献

[1] 王春森.程序员教程[M]. 北京:清华大学出版社,2001-05

[2] 周敏. 汉诺塔问题的算法分析及C语言实现[j].电脑学习,2009年10月

[3] 谈祥柏 著.数学营养菜[M]. 中国少年儿童出版社,2004-5-1